🔔 Bell Eşitsizliği — Quantum'un Klasikten Farkını Matematiksel Olarak Kanıtla¶

CHSH Deneyi: Hiçbir Klasik Bilgisayarın Taklit Edemeyeceği Bir Sonuç

Bu tutorialda yapacağınız şey: 1964'te John Bell'in ortaya koyduğu eşitsizliği quantum devrelerle test edeceksiniz. Eğer S > 2 çıkarsa, bu sonucu hiçbir klasik algoritma, hiçbir gizli değişken teorisi üretemez. Quantum mekaniğinin en temel kanıtı.

Arka Plan: Einstein Haklı mıydı?¶

Einstein, quantum dolanıklığın "ürkütücü uzaktan etki" (spooky action at a distance) olduğunu söyleyip itiraz etti. Dedi ki: "Partiküller ayrılmadan önce sonucu zaten biliyorlar — gizli değişkenler var."

1964'te John Bell bir eşitsizlik türetti:

Eğer gizli değişkenler varsa, S ≤ 2 olmalı.
Quantum mekaniği ise S = 2√2 ≈ 2.828 öngörüyor.

2022 Nobel Fizik Ödülü, bu deneyi gerçekleştirenalere verildi (Aspect, Clauser, Zeilinger). Şimdi aynı deneyi Quanta ile yapacağız.

Adım 1: Bell State Oluştur ve Dolanıklığı Gözlemle¶

İlk adım: iki qubit'i dolanık hale getir. Bu, quantum bilgisayarların yapabildiği ama klasik bilgisayarların yapamadığı şey:

from quanta.simulator.statevector import StateVectorSimulator

# |Φ+⟩ Bell state oluştur
sim = StateVectorSimulator(2)
sim.apply("H", (0,))      # Qubit 0'ı süperpozisyona al
sim.apply("CX", (0, 1))   # CNOT ile dolanıklık kur

# Statevector'ı incele
state = sim.state
print("Bell State |Φ+⟩:")
print(f"  |00⟩ genliği: {state[0]:.4f}")
print(f"  |01⟩ genliği: {state[1]:.4f}")
print(f"  |10⟩ genliği: {state[2]:.4f}")
print(f"  |11⟩ genliği: {state[3]:.4f}")
print(f"\n  Yorumlama: Ölçersen ya |00⟩ ya da |11⟩ çıkar")
print(f"  Her ikisi de %50 olasılıklı — AMA her zaman aynı!")
print(f"  Bu korelasyon ürkütücü: biri 0 verirse diğeri kesinlikle 0.")

# Dolanıklık kanıtı: örnekleme
counts = sim.sample(1000)
print(f"\n  1000 ölçüm: {counts}")
same = sum(v for k, v in counts.items() if k[0] == k[1])
print(f"  Aynı sonuç oranı: {same/1000:.1%} (klasikte max %75)")

Simülasyon Notu

Bu devre gerçek quantum donanımında (IBM, Google) bire bir aynı şekilde çalışır. Simülatörümüz aynı quantum gate'lerini kullanıyor — fark sadece statevector'ın bellekte tutulması.

Adım 2: CHSH Deneyi — Farklı Açılarda Ölçüm¶

CHSH deneyinde Alice ve Bob farklı açılarda ölçüm yapar. 4 farklı açı kombinasyonu, 4 korelasyon değeri:

import numpy as np
from quanta.simulator.statevector import StateVectorSimulator

def measure_correlation(alice_angle, bob_angle):
    """Bell state'i farklı bazlarda ölçüp korelasyon hesapla.

    Devre: H → CX → RY(alice) ⊗ RY(bob) → ölçüm
    Quantum mekaniği: E(a,b) = cos(2(a-b))
    """
    sim = StateVectorSimulator(2)

    # Bell state |Φ+⟩
    sim.apply("H", (0,))
    sim.apply("CX", (0, 1))

    # Ölçüm bazını döndür (RY ile Z-bazından θ-bazına)
    sim.apply("RY", (0,), (-2 * alice_angle,))
    sim.apply("RY", (1,), (-2 * bob_angle,))

    # Olasılıkları hesapla
    probs = sim.probabilities()
    # E = P(aynı sonuç) - P(farklı sonuç)
    E = float((probs[0] + probs[3]) - (probs[1] + probs[2]))
    return E

# CHSH optimal açıları (maximum Bell violation)
# Alice: 0 ve π/4    Bob: π/8 ve 3π/8
a0, a1 = 0, np.pi/4
b0, b1 = np.pi/8, 3*np.pi/8

E00 = measure_correlation(a0, b0)
E01 = measure_correlation(a0, b1)
E10 = measure_correlation(a1, b0)
E11 = measure_correlation(a1, b1)

print("CHSH Korelasyonları:")
print(f"  E(a₀=0,    b₀=π/8)  = {E00:+.4f}  (teori: {np.cos(2*(a0-b0)):+.4f})")
print(f"  E(a₀=0,    b₁=3π/8) = {E01:+.4f}  (teori: {np.cos(2*(a0-b1)):+.4f})")
print(f"  E(a₁=π/4,  b₀=π/8)  = {E10:+.4f}  (teori: {np.cos(2*(a1-b0)):+.4f})")
print(f"  E(a₁=π/4,  b₁=3π/8) = {E11:+.4f}  (teori: {np.cos(2*(a1-b1)):+.4f})")

# CHSH S parametresi
S = E00 - E01 + E10 + E11

print(f"\n  S = E₀₀ - E₀₁ + E₁₀ + E₁₁")
print(f"  S = {E00:+.4f} - ({E01:+.4f}) + {E10:+.4f} + {E11:+.4f}")
print(f"  S = {S:.4f}")

Adım 3: Bell Eşitsizliğini Test Et¶

Şimdi kritik an: S > 2 mi?

import numpy as np
from quanta.simulator.statevector import StateVectorSimulator

def measure_correlation(a, b):
    sim = StateVectorSimulator(2)
    sim.apply("H", (0,))
    sim.apply("CX", (0, 1))
    sim.apply("RY", (0,), (-2 * a,))
    sim.apply("RY", (1,), (-2 * b,))
    probs = sim.probabilities()
    return float((probs[0] + probs[3]) - (probs[1] + probs[2]))

a0, a1, b0, b1 = 0, np.pi/4, np.pi/8, 3*np.pi/8
S = measure_correlation(a0,b0) - measure_correlation(a0,b1) + measure_correlation(a1,b0) + measure_correlation(a1,b1)

bell_limit = 2.0
quantum_prediction = 2 * np.sqrt(2)

print("╔══════════════════════════════════════════════╗")
print("║       BELL EŞİTSİZLİĞİ TEST SONUCU         ║")
print("╠══════════════════════════════════════════════╣")
print(f"║  Ölçülen S değeri:    {S:.4f}                 ║")
print(f"║  Bell sınırı (klasik): {bell_limit:.4f}                 ║")
print(f"║  Quantum öngörüsü:    {quantum_prediction:.4f}                 ║")
print("╠══════════════════════════════════════════════╣")

if abs(S) > bell_limit:
    violation = abs(S) - bell_limit
    print(f"║  ✅ BELL EŞİTSİZLİĞİ İHLAL EDİLDİ!         ║")
    print(f"║  İhlal miktarı: {violation:.4f}                    ║")
    print(f"║                                              ║")
    print(f"║  Bu sonuç kanıtlar ki:                       ║")
    print(f"║  → Gizli değişken teorileri YANLIŞ            ║")
    print(f"║  → Quantum dolanıklık GERÇEK                  ║")
    print(f"║  → Hiçbir klasik sistem bunu ÜRETEMEZ         ║")
else:
    print(f"║  ❌ Bell eşitsizliği ihlal edilmedi            ║")
print("╚══════════════════════════════════════════════╝")

Adım 4: İstatistiksel Güvenilirlik — Sonlu Örneklemle Test¶

Gerçek laboratuvarda sonsuz ölçüm yapılamaz. Sonlu shot sayısıyla Bell violation hâlâ istatistiksel olarak anlamlı mı?

import numpy as np
from quanta.simulator.statevector import StateVectorSimulator

def chsh_with_shots(shots, seed=42):
    """CHSH deneyini sonlu örneklemle yap."""
    a0, a1 = 0, np.pi/4
    b0, b1 = np.pi/8, 3*np.pi/8

    correlations = []
    for a, b in [(a0,b0), (a0,b1), (a1,b0), (a1,b1)]:
        sim = StateVectorSimulator(2, seed=seed)
        sim.apply("H", (0,))
        sim.apply("CX", (0, 1))
        sim.apply("RY", (0,), (-2*a,))
        sim.apply("RY", (1,), (-2*b,))

        counts = sim.sample(shots)
        same = sum(v for k,v in counts.items() if k[0]==k[1])
        diff = shots - same
        E = (same - diff) / shots
        correlations.append(E)

    S = correlations[0] - correlations[1] + correlations[2] + correlations[3]
    return S

print("Shot sayısına göre CHSH S değeri:\n")
print(f"{'Shots':>10} │ {'S değeri':>10} │ {'|S|>2?':>8} │ Güven")
print("─" * 50)

for shots in [100, 500, 1000, 5000, 10000, 50000]:
    # Birden fazla deneme yap
    S_values = [chsh_with_shots(shots, seed=s) for s in range(10)]
    S_mean = np.mean(S_values)
    S_std = np.std(S_values)
    violation = "✅" if abs(S_mean) > 2 else "❌"
    sigma = (abs(S_mean) - 2) / max(S_std, 1e-10)

    print(f"  {shots:>8} │ {S_mean:>+10.4f} │ {violation:>8} │ {sigma:.1f}σ")

print(f"\n💡 Ne kadar çok ölçüm → o kadar kesin Bell violation")
print(f"   Gerçek laboratuvarlarda >5σ güven seviyesi aranır")

Quantum vs Klasik: Neden S > 2 İmkansız?¶

Bell'in kanıtı (1964):

Eğer ölçüm sonuçları önceden belirlenmiş (deterministic) ise, yani Alice ve Bob'un partikülleri ayrılmadan önce "ne vereceğini biliyorsa", o zaman herhangi bir korelasyon fonksiyonu için |S| ≤ 2 olmak zorundadır.

Quantum mekaniği bunu ihlal ediyor çünkü:

Sonuçlar ölçümden önce belirlenmiş değil
Dolanık partiküller tek bir quantum durumu paylaşıyor
Ölçüm, durumu anlık olarak çökertiyor

2022 Nobel Ödülü bu deneyi yapan Aspect, Clauser ve Zeilinger'a verildi. Siz de az önce aynı deneyi Quanta SDK ile yaptınız.

Sonuç¶

Bell state |Φ+⟩ oluşturup dolanıklığı gözlemlediniz
CHSH deneyini 4 farklı açıda çalıştırdınız
S = 2.828 > 2 → Bell eşitsizliği ihlal edildi
Bu, hiçbir klasik bilgisayarın taklit edemeyeceği bir sonuç
Sonlu shot ile istatistiksel güvenilirliği doğruladınız

Doğrulama: S = 2√2 = 2.8284... (quantum teorisi ile tam uyum)